משוואת מיכאליס-מנטן ההפוכה
משוואה לצורה ההפיכה של משוואת מיכאליס-מנטן נגזרה לראשונה על ידי הלדאן (1932, עמ '81), והצורה המוצגת בשוויון (1) הייתה ניתן לראשונה על ידי פלר ואלברטי (1953).
$$ v = {{{{V_ {max} ^ f} \ מעל {K_ {m} ^ s}} \ s \ - {{V_ {max} ^ r} \ מעל {K_ {m} ^ p}} \ p} \ מעל {1 + {{s} \ מעל {K_ {m} ^ s}} + {{p} \ מעל {K_ {m} ^ p}}}} \ \ \ \ \ (1) $$
- $ v $ הוא מהירות
- $ s $ הוא ריכוז מצע
- $ p $ הוא ריכוז מוצר
- $ K_ {m} ^ s $ הוא הקבוע של מיכאליס עבור $ s $
- $ K_ {m} ^ p $ הוא הקבוע של מיכאליס עבור $ p $
- $ V_ {max} ^ f $ הוא המהירות המרבית בכיוון 'קדימה'
- $ V_ {max} ^ r $ הוא המהירות המקסימלית בכיוון 'הפוך'
הגדרת $ p $ לאפס נותנת את הצורה המוכרת יותר של משוואת מיכאליס-מנטן (כאשר $ v_i $ מהווה כעת את המהירות הראשונית)
$$ v_i = {{{V_ { max} ^ f} s} \ מעל {K_ {m} ^ s + s}} \ \ \ \ \ (2) $$
גזירת חוק התעריפים
כיצד האם ניתן לגזור את Eqn (1)?
זה נעשה על ידי (בין היתר) קורניש-באודן (2004, עמ '48-52), והגזירה המובאת להלן עוקבת מקרוב אחר מקור זה (בעזרת מעט עזרה מ Wolfram Mathematica).
בואו ניקח בחשבון את הצורה הבאה של מנגנון האנזים החד-מצעי והמוצר החד-פעמי הפיך
מצע $ s $ עשוי להיקשר באופן הפיך ל- $ E $ (האנזים 'בחינם') כדי לתת $ ES $. זה בתורו יכול להיות מומר הפיך ל- $ EP $, וניתוק הפיך של המוצר מחזיר את הצורה המקורית של האנזים 'החופשי' יחד עם $ p $.
המתחמים $ ES $ ו- $ EP $ נקראים לפעמים 'מתחמים מרכזיים'
עם זאת, על מנת לפשט את האלגברה, אביא את חוק התעריפים לפשוטים הבאים ( ומנגנון לא מציאותי) המכיל קומפלקס מרכזי יחיד.
עלינו להיות מאוד מאוד זהירים כאן. הנחה מפשטת זו לא תשנה את הצורה הכוללת של צורת ה קבוע קינטי של חוק התעריף, כלומר גם מנגנון (3) וגם (4) יוליד את Eqn (1), אך זה יהפוך את ההגדרה של קבועים קינטיים לפשוטה יותר .
אסור לנו להניח שהגדרות פשוטות אלה חלות בהכרח על כל מקרה ריאלי. ההגדרות עבור $ V_ {max} ^ f $ (Eqn 10) ו- $ V_ {max} ^ r $ (Eqn 11), למשל, מכילות קבוע קצב יחיד אך המנגנון של Eqn (3) מורכב יותר. (שוויון 15 & 16).
לפיכך אמירות כגון 'עבור ריכוז אנזים יחידה, $ k_ {3,2} $ שוות למהירות המרבית בכיוון קדימה' רצופות קשיים. (מן הסתם זה נכון לטעון, לפחות לגבי סוג המנגנונים הנחשבים כאן, כי 'עבור ריכוז האנזים היחיד, המהירות המקסימלית לא יכולה לחרוג $ k_ {3,2} $').
אבל אנחנו סוטים. נחזור לגזירה.
- תן $ e_o $ להיות ריכוז האנזים הכולל
- תן $ x $ שווה לריכוז של $ ES $
- ריכוז $ E $ הוא לכן ($ e_o $ - $ x $)
בנוסף, הבה נניח שתי הנחות יסוד (ראה כאן להבהרה נהדרת של שיטת המצב היציב בקינטיקה של אנזים).
- זמן קצר מאוד לאחר תחילת התגובה, נקבע מצב יציב כך שקצב היווצרות $ x $ שווה לקצב ההתמוטטות של $ x $. זו הנחת המצב הקבוע. (מה שקורה בתקופה שלפני מצב יציב לא נוגע לנו כאן).
- הריכוז של $ e_o $ כל כך נמוך, עד שניתן להתעלם מהיווצרות $ ES $ ו- $ EP $ בחישוב ריכוזי המצע והמוצר (זה גם מפשט מאוד את האלגברה).
משוואת ההפרש הבאה, המתארת את קצב הפירוק של $ x $, עשויה להיכתב כעת:
$$ {dx \ over dt} = {k_ {1,2} \ ( e_o -x) \ s + k_ {3,2} \ (e_o -x) \ p - (k_ {2,1} + k_ {2,3}) \ x = 0} \ \ \ \ \ \ \ ( 5) $$
בואו נפתור תמורת $ x $. אני הולך להיות עצלן כאן ואאפשר ל Wolfram Mathematica לבצע את העבודה.
(גרסה מפורטת יותר של המחברת Mathematica תמצא כאן).
הפקודה שלמעלה מפיקה את הפלט הבא (כמה מגניב זה?)
כעת נגדיר את משוואת המהירות במונחים של $ x $, תוך התחשבות בתגובה ההפוכה
$$ {dp \ over dt} = {k_ { 1,2} \ x \ - \ k_ {3,2} \ (e_o -x) \ p} \ \ \ \ \ \ \ (6) $$
כעת עלינו להחליף עבור $ x $ במשוואה לעיל. שוב, באמצעות Mathematica
שימוש בתחליף
מתקבלת הפלט הבא:
כלומר, שיעור- צורה קבועה של חוק התעריפים יכולה לבוא לידי ביטוי כדלקמן:
$$ {dp \ over dt} = {{(k_ {1,2} \ k_ {2,3} \ s - {k_ {2,1} \ k_ {3,2} \ p) \ e_o}} \ מעל {{k_ {1,2} \ s} + k_ {2,1} + k_ {2,3} + {k_ {3,2} \ p}}} \ \ \ \ \ \ (7) $$
ה'טריק 'כעת הוא להגדיר קבועים קינטיים בצורה כזו שיותר שימושית קינטי-קבוע של חוק הקצב.
נגדיר את הקבועים הקינטיים באופן הבא
$$ K_ {m} ^ s = {{k_ {2,1} \ + \ k_ {2,3}} \ over {k_ {1,2}}} \ \ \ \ (8) $$
$$ K_ {m} ^ p = {{k_ {2,1} \ + \ k_ {2,3 }} \ מעל {k_ {3,2}}} \ \ \ \ (9) $$
$$ k_ {cat} ^ f = {{V_ {max} ^ f} \ over { e_o}} = k_ {2,3} \ \ \ \ (10) $$
$$ k_ {cat} ^ r = {{V_ {max} ^ r} \ over {e_o}} = k_ {2,1} \ \ \ \ (11) $$
חלוקת שווי ערך. (7) 'מעל ומתחת' ב- ($ {k_ {1,2} \ + k_ { 2,3}} $) נותן את הביטוי הבא:
החלפת ערכי הקבועים הקינטיים בביטוי הנ"ל מובילה באופן הגיוני ל צורת ה קבועה-קינטית הבאה של חוק התעריפים:
$$ v = {{({{k_ {cat} ^ f} \ over {K_ {m} ^ s }} \ s \ - {{k_ {cat} ^ r} \ מעל {K_ {m} ^ p}} \ p) \ e_o} \ מעל {1 + {{s} \ מעל {K_ {m} ^ s }} + {{p} \ מעל {K_ {m} ^ p}}}} \ \ \ \ \ (12) $$
קבועים קינטיים למנגנון הריאליסטי יותר
ההגדרה של קבועים קינטיים למנגנון המציאותי יותר של Eqn (3) היא כדלקמן: (ראה כאן לגזרת Mathematica).
באופן כללי, מנגנונים שונים עשויים להביא לחוק תעריפים זהה.
המנגנון הבא יוליד גם את Eqn (1).
למעשה, הוספת מספר כלשהו של מתחמים מרכזיים למנגנון של Eqn (3) תוליד חוק תעריפים צורה של Eqn (1).
הרחבה למנגנון מיכאליס-מנדן
הנה מנגנון ש לא יביא לחוק שיעורים כפי שמוצג ב- Eqn (1) :
במנגנון הנ"ל, צורת האנזים 'החופשי' שנוצר עם שחרור המוצר ($ F $) שונה מ זה שמשלב עם מצע ($ E $), ומדגיש כי ייתכן שיהיה עלינו לקחת בחשבון את ההמרה ההדדית שלהם בכל תיאור מלא של אנזים יחיד-מצע, מוצר יחיד (ראה Taraszka & Alberty, 1964).
חוק התעריפים עבור מנגנון זה מכיל קבוע קינטי נוסף, הנקרא כאן $ K_ {sp} $ $$ v = {{({{k_ {cat} ^ f} \ מעל {K_ {m} ^ s}} \ s \ - {{k_ {cat} ^ r} \ מעל {K_ {m} ^ p}} \ p) \ e_o} \ מעל {1 + {{s} \ מעל {K_ {m} ^ s}} + {{p} \ מעל {K_ {m} ^ p}} + {{sp} \ מעל {{K_ {sp}}}}}} \ \ \ \ \ (19) $$
מנגנון זה יכול, למשל, לתאר את הובלת הממברנה כאשר $ F $ מייצג את המוביל בחלק הפנימי של הממברנה ו- $ E $ מייצג את המוביל מבחוץ. אבל זה יכול לחול גם על כל אנזים בעל תוצרת יחידה אחת. זה שוב מדגיש את הסכנה שבפשטנות יתר.
חוק התעריפים של אקן (19) נבדק היטב על ידי דארווי (1972), ו pdf זמין בחינם לכל.
מחשבות אחרונות ...
ככל שמספר מיני האנזים גדל, קבלת הצורה הקבועה-קבועה של חוק הקצב הופכת להיות קשה, מכיוון שהמשוואות צוברות מהר מאוד מונחים רבים. לפני ימי ה Mathematica וכדומה, השתמשו אנזימולוגים בשיטה הסכימטית של קינג ואלטמן (1956), או באחת מגרסאותיה הרבות, כדי להשיג את הצורה הקבועה של חוק התעריפים.
אז מה היתרונות של הפקת הצורה הקבועה הקינטית של חוק התעריף המלא?
-
אם התגובה הפיכה באופן מופגן, היא עשויה להיבדק בשני הכיוונים.
-
עבור אנזים רב-מצעי, משוואות עיכוב המוצר נרשמות בקלות.
-
זה מאפשר קשר (או יחסים) בין הקבועים הקינטיים לבין קבוע שיווי המשקל שיש להשיג. עבור מנגנון הפיכת מיכאליס-מנטן של Eqns (3) & (4), מערכת היחסים הלדאן היא כדלקמן:
$$ K = {{k_ {cat} ^ f \ k_ {m} ^ p} \ מעל {k_ {cat} ^ r \ k_ {m} ^ s}} \ \ \ \ (20) $$
כאשר $ K $ הוא שיווי המשקל קבוע לתגובה (Haldane, 1930)
הפניות
- Cook, PF & Cleland, W.W (2007) קינטיקה ומנגנון אנזימים מדע גרלנד.
- Cornish-Bowden (2004) Fundamentals of Enzyme Kinetics Edn 3rd. פורטלנד פרס (לונדון)
- דארווי, I. G. (1972) יישום מחקרי עיכוב המוצר לתגובות אנזימות של מוצר אחד. Biochem J. 128, 383 - 387 [ pdf]
- Haldane, JBS (1930) Enzymes Longmans (לונדון)
- King, EL & Altman, C. (1956). שיטה סכמטית להפקת חוקי הקצב לתגובות מזרזות אנזים. J. פיז. כימיה . 60, 1375 - 1378
- Peller, L. & Alberty, R. A. (1959). ביניים מרובים בקינטיקה של אנזים במצב יציב. I. המנגנון הכרוך במצע ותוצר יחיד. J. אמ. כימיה. Soc . 81, 5907 - 5915
-
Segel, I. H. (1975) קינטיקה של אנזים. התנהגות וניתוח של שיווי משקל מהיר ומערכות יציבות וויילי
-
Taraszka, M. & Alberty, R. A. (1964). הרחבות חוק התעריף במצב יציב לתגובת הפומראז. J. פיז. כימיה. 68, 3368 - 3373.